【人教版】高中数学必修第一册 (A版): 逻辑之基：实数比较事实与不等式性质推导

实数的大小比较是整个数学逻辑的基石。在数轴上，实数与点一一对应。通过观察点的位置，我们可以直观感知“不等”。

基本事实：

如果 $a-b$ 是正数，那么 $a>b$;
如果 $a-b$ 等于 0，那么 $a=b$;
如果 $a-b$ 是负数，那么 $a< b$。

0 是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”。 利用作差法，我们可以将复杂代数式的大小比较转化为判断其差值的正负，这是证明不等式的最基本方法。

不等式的核心性质：
1. 传递性：$a > b, b > c \Rightarrow a > c$
2. 加法：$a > b \iff a + c > b + c$
3. 乘法：$c > 0 \Rightarrow ac > bc$; $c < 0 \Rightarrow ac < bc$

$$a > b \iff a - b > 0$$

QUESTION 1

下列关于不等关系建模的表示，错误的是：

某路段限速 $40\text{ km/h}$ 表示为 $v \le 40$

酸奶脂肪含量 $f$ 不少于 $2.5\%$ 表示为 $f > 2.5\%$

三角形两边之和大于第三边表示为 $a+b > c$

垂线段 $d_{\text{垂}}$ 不大于斜线段 $d_{\text{斜}}$ 表示为 $d_{\text{垂}} \le d_{\text{斜}}$

QUESTION 2

比较 $(x+3)(x+7)$ 和 $(x+4)(x+6)$ 的大小结果为：

$(x+3)(x+7) > (x+4)(x+6)$

$(x+3)(x+7) = (x+4)(x+6)$

$(x+3)(x+7) < (x+4)(x+6)$

无法确定，取决于 $x$ 的值

QUESTION 3

在证明不等式性质 1, 3, 4, 6 时，最基本的理论依据是：

实数大小比较的基本事实 ($a>b \iff a-b>0$)

等式的对称性与传递性

函数的单调性

几何图形的面积关系

QUESTION 4

若 $x$ 是实数，则 $\sqrt{x^2+x-12}$ 有意义的条件是：

$x > 3$ 或 $x < -4$

$x \ge 3$ 或 $x \le -4$

$-4 \le x \le 3$

$x \in \mathbf{R}$

QUESTION 5

若 $a>b$，且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$，则必有：

$ab > 0$

$ab < 0$

$a > 0, b < 0$

$a < 0, b > 0$

QUESTION 6

若 $a, b > 0$，且 $ab = a+b+3$，求 $ab$ 的取值范围。

$ab \ge 4$

$ab \ge 9$

$ab > 3$

$ab \ge 6$

QUESTION 7

关于不等式性质，下列说法正确的是：

若 $a>b, c>d$，则 $ac > bd$

若 $a>b$，则 $ac^2 > bc^2$

若 $a>b>0$，则 $\frac{1}{a^2} < \frac{1}{b^2}$

若 $a>b, c< d$，则 $a-c < b-d$

QUESTION 8

已知 $a > b$, 证明 $\frac{a+b}{2} > b$ 的正确步骤逻辑是：

因为 $a > b$, 所以 $a+b > 2b$, 故 $\frac{a+b}{2} > b$

因为 $b < a$, 所以 $\frac{a}{2} < b$, 故不成立

由基本不等式直接得出

当且仅当 $a=b$ 时等号成立

QUESTION 9

某高速公路规定通过车辆的车货总高度 $h$ 不能超过 $4\text{m}$，其数学表示为：

$h < 4$

$h \le 4$

$h > 4$

$0 < h \le 4$

QUESTION 10

比较圆（周长为 $L$）与正方形（周长为 $L$）的面积 $S_1$ 与 $S_2$：

$S_1 = S_2$

$S_1 > S_2$

$S_1 < S_2$

无法比较，取决于 $L$ 的数值